Renormalization vs Resampling

　温故知新な研究調査ばっかりやっております．というわけで，Curvature Scale Spaceについてちょっと．

F. Mokhtarian and A.K. Mackworth, "A Theory of Multiscale, Curvature-Based Shape Representation for Planar Curves," IEEE Trans. PAMI, Vol. 14, No. 8, August 1992.

これが難解なことこの上ない．難解であるからくりが分かったような気がするので，メモ．間違っていたらゴメンナサイ．

　曲率尺度空間（Curvature Scale Space，CSS）の説明は省略．この論文には3種類のCSSが出てきます．一つ目は普通のCSS，二つ目はRenormalized CSS，三つ目がResampled CSS．このうち，残り二つの差が分かりにくい．

　まず，普通のCSS．尺度σを1, 2, 3,...と増やしていきます．その上で，曲率を計算してやります．問題点は，尺度を上げていくと，サンプル点同士の距離が，不等間隔になってしまうこと．最初は等間隔でサンプリングしたのに，これはまずそう．実際，非一様なノイズに敏感になってしまいます．

　次に，Renormalized CSS．尺度σは1, 2, 3,...と増やしていきます．増やす度に，曲線の長さで正規化してから曲率を計算します．順序としてはこの通りなんだが，実際には逆．つまり，曲線の長さで正規化されるように，あらかじめ不等間隔のサンプリングをしておきます．このおかげで，非一様なノイズへの耐性がちょっと向上します．でも，計算は大変．

　最後に，Resampled CSS．小難しい理論が出てきますが，実装は簡単．小さなσをつかって，ガウス関数で平滑化して，曲率も求める．平滑化された曲線を等間隔サンプリングする．この新しい曲線を平滑化，曲率計算，等間隔サンプリング……と繰り返し適用していく．で，これは上記の二つと比べると，理論的に何が違うのか？ということろが論文の最難関部分なわけです．ちなみに，非一様なノイズの耐性への耐性が非常に向上します．さらに，計算も簡単．

　実は，Resampled CSSは実装ありきなので理論が難しくなっている，というのが私の見解．というのも，突然尺度で微分とかを持ち出しているし……．曲線の長さを尺度で微分＝曲率の2乗を積分，を持ち出す意味がよく分からない．実装とは一致するみたいですが．

　意味は分からないが，尺度σはざっくり言って，1, √2, √3,...と非線形に大きくなっている，ということだけは分かります．というか，そこだけが違うし，これが本質なのでしょう，おそらく．尺度に着目して理論展開してくれればいいのに，名前を微妙に変えて，本質を突かないから分かりにくい．

　というわけで，名前に惑わされた1週間でした．結局，曲線の長さで正規化しつつ，尺度は非線形に変えた方が良いですよ，ってことだけらしい．